MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS.

  MECÃNICA GRACELI GERAL - QTDRC.

equação Graceli dimensional relativista  tensorial quântica de campos  G* =  = [  /  IFF ]   G* =   /  G  /     .=   /  G  = [DR] =            .= +   +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

//////

[  /  IFF ]  = INTERAÇÕES DE FORÇAS FUNDAMENTAIS. =

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

G* =  OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES E CAMPOS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI,  E OUTROS.

/

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

 MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS. EM :

Interação spin-órbita-ENERGIA-CAMPOS-DIMENSÕES DE GRACELI.

Na física quântica, a interação spin-órbita (também chamado efeito spin-órbita ou acoplamento spin-órbita) é qualquer interação de partículas de spin com seu movimento. O primeiro e mais conhecido exemplo disto é que a interação spin-órbita provoca mudanças nos níveis de energia atômica de elétrons devido a uma interação entre o momento de dipolo magnético do spin e o campo magnético interno do átomo gerado pela órbita do elétron em torno do núcleo. Isto é detectável como uma divisão de linhas espectrais. Um efeito similar, devido à relação entre o momento angular e da força nuclear forte, ocorre por prótons e nêutrons em movimento dentro do núcleo, levando a uma mudança nos seus níveis de energia no modelo de concha do núcleo. No campo da spintrônica, os efeitos spin-órbita de elétrons em semicondutores e outros materiais são explorados para aplicações tecnológicas.^[1] A interação spin-órbita é uma das causas da anisotropia magnetocristalina.

Momentos angulares e momentos magnéticos (imagem semi-clássica)[editar | editar código-fonte]

Uma corrente numa espira tem associado a ela um momento magnético dado por:

${\displaystyle \overrightarrow{�}=�.\overrightarrow{�}}$ .  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Nessa expressão ${\displaystyle �}$ é a intensidade da corrente e ${\displaystyle \overrightarrow{�}}$ é o vetor área cuja direção é perpendicular ao plano da espira e o sentido é consistente com a regra do parafuso de rosca direita:

${\displaystyle �=�.{�}^2}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

e i = carga do electrão X número de vezes por segundo que o electrão passa num dado ponto = e.f onde f é a frequência de rotação do electrão.

Módulo do momento de dípolo magnético

${\displaystyle |\overrightarrow{�}|=�.�=(�.�).(�.{�}^2)}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Cuja direção é oposta a do momento angular orbital ${\displaystyle \overrightarrow{�}}$ porque o electrão possui carga negativa.

Agora

${\displaystyle |\overrightarrow{�}|=�.�.�=.(2�.�.�)�=2���.{�}^2=\frac{2�}{�}.|\overrightarrow{�}|}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Portanto

${\displaystyle \overrightarrow{�}=\frac{�}{2�}.\overrightarrow{�}}$ (Z)  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Dado que o momento angular é quantizado, temos:

${\displaystyle \overrightarrow{�}=�\hslash \widehat{�}}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Na primeira órbita de Bohr, m = 1 e a equação (Z) torna-se

${\displaystyle {\overrightarrow{�}}_{�}=\frac{-�\hslash \widehat{�}}{2�}=-{\overrightarrow{�}}_{�}\widehat{�}}$ (Y)  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

onde ${\displaystyle {�}_{�}}$ é chamado magnetão de Bohr e o seu valor é dado por

${\displaystyle {�}_{�}=\frac{�\hslash }{2�}}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Pode-se ver da Equação (Y) que ${\displaystyle {\overrightarrow{�}}_{�}}$ é anti-paralelo ao momento angular orbital.

O rácio entre o momento magnético e o momento angular orbital é chamado o rácio giromagnético clássico,

${\displaystyle {�}_{�}=|\frac{{\overrightarrow{�}}_{�}}{\overrightarrow{�}}|=\frac{�}{2�}=\frac{{�}_{�}}{\hslash }}$ (X)  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

O momento angular de spin também possui um momento magnético a ele associado.

O seu rácio giromagnético é aproximadamente duas vezes o valor clássico para o momento orbital, isto é,

${\displaystyle {�}_{�}=|\frac{{\overrightarrow{�}}_{�}}{\overrightarrow{�}}|=\frac{�}{�}}$ (K)  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Isso significa que o spin é duas vezes mais eficaz em produzir um momento magnético do que o momento angular.

Equações (X) e (K) são muitas vezes combinados, escrevendo

${\displaystyle �=\frac{��}{2�}}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

onde a grandeza g é chamada o fator de divisão espectroscópico. Para momentos angulares orbitais g = 1, para spin apenas g ≈ 2 (embora experimentalmente g = 2 004).

Para os Estados que são misturas de momento angular orbital e momento angular de spin, g não é inteiro .

Dado que

${\displaystyle �=\frac{1}{2}\hslash }$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

O momento magnético devido ao spin do electrão é:

${\displaystyle {�}_{�}={�}_{�}|\overrightarrow{�}|=\frac{�}{�}.\frac{\hslash }{2}={�}_{�}}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Assim, a menor unidade de momento magnético para o electrão é o magnetão de Bohr, quer se combine momento angular orbital ou spin.

A interação spin-órbita (mecânica quântica)[editar | editar código-fonte]

Na inclusão introdutória do spin na função de onda de Schrodinger, supõe-se que as coordenadas do spin são independentes das coordenadas do espaço de configuração.^[2]

Assim, a função de onda total é escrita como uma função de produto.

${\displaystyle {\mathrm{\Psi }}_{\text{total}}={�}_{���}(�,�,�).�(����).{�}^{-�{�}_{�}�/\hslash }}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

${\displaystyle {\mathrm{\Psi }}_{\text{total}}=|{�}_{��}.{�}^{-�.{�}_{�}\frac{�}{\hslash }}⟩.|�,�⟩.|�,{�}_{�}⟩}$ (P)  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

A suposição feita acima implica que não existe interação entre L e S, i.e

${\displaystyle \lfloor \widehat{�},\widehat{�}\rfloor =0}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Neste caso, ${\displaystyle {\mathrm{\Psi }}_{\text{total}}}$ é uma auto-função de ambos ${\displaystyle {�}_{�}}$ e ${\displaystyle {�}_{�}}$ e portanto ${\displaystyle {�}_{�}}$ e ${\displaystyle {�}_{�}}$ são bons números quânticos; em outras palavras, as projeções de ${\displaystyle \overrightarrow{�}}$ e ${\displaystyle \overrightarrow{�}}$ são constantes do movimento.

Mas na verdade existe uma interação entre ${\displaystyle \overrightarrow{�}}$ e ${\displaystyle \overrightarrow{�}}$ chamada interação Spin-Órbita expressa em termos da grandeza ${\displaystyle \overrightarrow{�}.\overrightarrow{�}}$.

Dado que ${\displaystyle \overrightarrow{�}.\overrightarrow{�}}$ não comuta quer com ${\displaystyle \overrightarrow{�}}$ ou com ${\displaystyle \overrightarrow{�}}$, a equação (P) torna-se incorreta e ${\displaystyle {�}_{�}}$ e ${\displaystyle {�}_{�}}$ deixam de ser bons números quânticos. 

Nós imaginamos a interação spin-órbita como o momento magnético spin estacionária interagindo com o campo magnético produzido pelo núcleo orbitante.

No sistema de referência de repouso do electrão, há um campo eléctrico

${\displaystyle \overrightarrow{�}=\frac{��}{{�}^2}\widehat{�}}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Onde ${\displaystyle \widehat{�}}$ dirige‐se do núcleo em direção ao electrão. 

Assumindo que ${\displaystyle \overrightarrow{�}}$ é a velocidade do electrão no sistema de referência de repouso do núcleo, a corrente produzida pelo movimento nuclear é: 

${\displaystyle \overrightarrow{�}=-\frac{��}{�}\overrightarrow{�}}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

No sistema de referência de repouso do electrão.

Portanto

${\displaystyle {\overrightarrow{�}}_{�}=-\frac{��}{�}\frac{\overrightarrow{�}\wedge \widehat{�}}{{�}^2}=-\frac{1}{�}\overrightarrow{�}\wedge \overrightarrow{�}}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

O momento de spin do electrão realiza um movimento precessional neste campo com frequência de Larmor:

${\displaystyle {\overrightarrow{�}}_{�}=�{\overrightarrow{�}}_{�}=-\frac{�}{{�}_0{�}^2}\overrightarrow{�}\wedge �}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Com energia potencial

${\displaystyle {�}_{�}=-{\overrightarrow{�}}_{�}.{\overrightarrow{�}}_{�}=-{\overrightarrow{�}}_{�}.\overrightarrow{�}}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

As equações acima são válidas no quadro de referência de repouso electrão.

A Transformação para o sistema de referência de repouso do núcleo introduz um fator de ½ - chamado o fator de Thomas. [Isto pode ser mostrado, calculando o tempo dilatado entre os dois sistemas de referência em repouso].^[2]

Portanto, um observador no sistema de referência de repouso do núcleo poderia observar o electrão a realizar um movimento de precessão com uma velocidade angular de

${\displaystyle {\overrightarrow{�}}_{�}=-\frac{�}{2{�}_0{�}^2}\overrightarrow{�}\wedge \overrightarrow{�}}$ (T)  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

e por uma energia adicional dada por

${\displaystyle \mathrm{\Delta }�=-\frac{1}{2}{\overrightarrow{�}}_{�}.\overrightarrow{�}}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

As duas Eqs acima podem ser colocadas em uma forma mais geral, restringindo o V ser qualquer potencial central com simetria esférica.

De forma que

${\displaystyle \overrightarrow{�}=-\widehat{�}\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}=�\overrightarrow{�}}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

e então

${\displaystyle \overrightarrow{�}\wedge \overrightarrow{�}=\frac{1}{�}\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}\overrightarrow{�}\wedge \overrightarrow{�}=\frac{1}{�{�}_0}\frac{1}{�}\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}\overrightarrow{�}}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

A equação (T) torna-se então

${\displaystyle {\overrightarrow{�}}_{�}=+\frac{1}{2{�}_0^2{�}^2}\frac{1}{�}\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}\overrightarrow{�}}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

E a energia adicional

${\displaystyle \mathrm{\Delta }�=+\frac{1}{2{�}_0^2{�}^2}\frac{1}{�}\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}\overrightarrow{�}.\overrightarrow{�}}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

O produto escalar

${\displaystyle \overrightarrow{�}.\overrightarrow{�}=�\hslash �}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Para spin = ½

${\displaystyle \overrightarrow{�}.\overrightarrow{�}=�\hslash .\frac{1}{2}\hslash =\frac{1}{2}�{\hslash }^2}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

A separação energética se torna então

${\displaystyle |\mathrm{\Delta }�|=\frac{{\hslash }^2�}{4{�}_0^2{�}^2}\frac{1}{�}\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Para o potencial de Coulomb a separação energética pode ser aproximada por:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }�=\frac{{�}_{�}^2��{�}^2}{{�}^3}}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Onde

${\displaystyle {�}_{�}=\frac{ℎ}{{�}_{�}�}}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

é o comprimento de onda de Compton

${\displaystyle {�}_{�}=\frac{ℎ}{{�}_{�}�}}$ ou ${\displaystyle \frac{{�}_{�}}{2�}}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Um resultado útil no cálculo é citado sem prova. O valor médio de ${\displaystyle \frac{1}{{�}^3}}$ i.e.

${\displaystyle ⟨\frac{1}{{�}^3}⟩=\frac{{�}^2}{{�}_{{�}^2}{�}^2�(�+\frac{1}{2})(�+1)}}$  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

para ${\displaystyle �\ne 0}$

De modo que a separação energética se torna

${\displaystyle \mathrm{\Delta }�=\frac{{\overline{�}}_{�}^2{�}_{�}{�}^3�}{{�}_0^2{�}^2�(�+1/2)(�+1)}}$

para ${\displaystyle �\ne 0}$